Figuras geométricas bidimensionales:
Nociones de congruencia y semejanza .Proporcionalidad
de segmentos. Teorema de tales. Nociones de proyección y perspectiva.
Ampliación y reducción de figuras. Elaboración de mosaicos
INTRODUCCION.
La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y
aprender el arte de razonar, porque es abstracta, pero fácil de visualizar y
tiene muchas aplicaciones concretas como por ejemplo, calcular el área de un
lote a ser cercado, determinar el volumen de un lata que contiene refresco,
construir puentes bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio,
grandes coliseos deportivos, etc. Es por esa razón que la geometría es parte de
nuestras vidas porque la podemos observar hasta en un objeto y hasta en las flores.
Figuras geométricas (bidimensionales) son nociones de congruencia
y semejanza.
Figuras
de congruencia
Son dos figuras de puntos son
congruentes si tienen lados iguales y el mismo tamaño (o también están
relacionadas por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una
transformación que es combinación de traslaciones rotaciones y reflexiones.
Por así decirlo, dos figuras son
congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación
sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman
homologas o correspondientes.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si
sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos
miden lo mismo.
Nociones
de semejanza
El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual
forma, pero no necesariamente de igual tamaño.
Una semejanza es una coagulo
geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o
simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de
una materia pero no se altera su coagulo.
En el caso del triángulo, la forma
solo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo como por
ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o
menos alargada, es decir que depende del cociente base/altura).
Se puede simplificar así la
definición: dos triángulos son
semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
CRITERIOS DE SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS
-Primer criterio: Dos triángulos son
semejantes si tienen dos ángulos iguales.
-Segundo criterio: Dos triángulos
son semejantes si tienen dos lados proporcionales e iguales el ángulo
comprendido entre ellos.
-Tercer criterio: Dos triángulos son
semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
-
Proporcionalidad
de segmentos
Llamamos proporcionalidad de
segmentos a la ampliación existente entre el conjunto de cantidades de longitud
en sí mismo, de tal forma que la aplicación sea biyectiva, conserve el orden,
la igual y además mantenga la correspondencia con la operación de la suma.
- Teoremas de tales
Existen dos teoremas relacionados con la geometría
clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al
matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.
El primero de ellos explica esencialmente una forma
de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los
triángulos semejantes son los que tienen ángulos iguales y sus lados homólogos
proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad
esencial de los circunveniros de todos los triángulos rectángulos
("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su
vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer
condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas
son intersectadas cada una por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
Primer teorema Una aplicación del teorema de
Tales.
Teorema
primero
Si
en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se
obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Segundo teorema
fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son
isósceles.
En la circunferencia de centro O y
radio r (véase fig 2.3), los segmentos
OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son
isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC.
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
(Corolario 1) En todo triángulo
rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre
½ de la hipotenusa.”
Ya
que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que
adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana
de la hipotenusa, (véase fig 2.3).
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo
triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su
circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
Aplicación (Tales - teoremando)
El “segundo
teorema” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las
tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen
por un punto P conocido y externo a la misma (véase
figura).
Se supondrá que una
tangente cualquiera t (por ahora desconocida)
toca a la circunferencia k en un punto T (también
desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio rde
la circunferencia k es perpendicular a la tangente del
punto Tque dicho radio define en la misma, por lo que
concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.
Lo anterior implica
que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el
«corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el
triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de
radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.
Entonces marcando
el punto H como punto medio de la hipotenusa y
haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia
auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al
triángulo OTP.
Esta última
circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en
dos puntos T y T', estos son
justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente
tangentes a k y además pasan por el punto P,
ahora ya conocidos los puntos T y T' solo
basta trazar las rectas TP y T'P (rojas
en la figura) para tener resuelto el problema.
Nociones de
proyección de perspectiva
Proyección
procede del latín proyecto y hace mención al accionar y a los resultados de
proyectar (provocar el reflejo de una
imagen ampliada en una superficie, lograr que la figura de un objeto se vuelva
visible sobre otro, desarrollar una planificación para conseguir algo).
La perspectiva es el
arte que se dedica a la representación de objetos tridimensionales en una
superficie bidimensional (plana) con la intención de recrear la posición
relativa y profundidad de dichos objetos. La finalidad de la perspectiva es,
por lo tanto, reproducir la forma y disposición con que los objetos aparecen a la vista.
- Ampliación
y reducción de figuras
Se le conoce
también con el nombre de homotecia, o dilatación, contracción, prensión,
alargamiento, reescala.
La ampliación y
reducción son transformaciones que sufre una figura geométrica en lo largo y
ancho que mantienen la forma de la figura original, esto se significa que si una figura tiene lados
paralelos los lados perpendiculares o lados de la misma medida, su ampliación o
reducción conservarán las mismas
propiedades.
Cuando
cambia una figura d tamaño se hace mas grande o mas pequeño, pero e similar :
- 
Los angulos no cambian
Los angulos no cambian
-
Los
tamaños relativos son los mismos
Con
respecto a los angulos, decir que no varian que los angulos siempre se conservan
por ejemplo los angulos de un triangulo simpre suman 180°, los agamos mas
grande o mas pequeño siempre van a sumar 180°, y lo mismo ocurre si escogemos
la bandera, sabemos que sus angulos miden 90°
cada uno, si la ampliamos sige midiendo lo mismo.
Cuando se
aumenta las medidas de los lados de una
figura, está aumentando su tamaño; equivalente, cuando se disminuye los lados
de una figura esta disminuye su tamaño.
-la
ampliación de una figura, es una nueva
figura cuyos lados tienen la medida los lados de la figura original
multiplicados todos por un mismo número.
-la reducción de
una figura, es una nueva figura cuyos lados tienen la medida los lados de
la figura original, divididos todos por
un mismo número.
CONCLUSION
Todo lo
que nos rodea, tanto en nuestro entorno mediato como inmediato está conformado o
constituido por figuras (bidimensionales) nos damos cuenta de la
importancia de conocer las figuras geométricas bidimensionales, ya que es algo
que está muy unido a nuestra vida, nos topamos con ellas día a día y las vemos
donde quiera que nuestra vista se dirija y estamos en pleno contacto con ellas.
